Geometria · Polígonos regulares e mosaicos — por que o pentágono sempre sobra buraco.
Tempo1 aula (40–50 min)
OrganizaçãoGrupos de 4
OndeSala de aula
CustoBaixo
Cobrir a carteira com peças de cartolina parece brincadeira de encaixe — até o pentágono entrar em cena e SEMPRE sobrar buraco. A pergunta "por que ele não cobre?" só tem resposta medindo ângulos: no vértice de um ladrilhamento os ângulos precisam somar exatamente 360°, e 108° não divide 360. A geometria dos mosaicos de calçada inteira cabe nessa conta.
Três hexágonos fecham 360° no vértice; três pentágonos param em 324° — e o buraco de 36° não tem conserto.
Materiais
Peças de cartolina/papelão com lado 5 cm: ~10 triângulos equiláteros, 10 quadrados, 6 pentágonos e 8 hexágonos regulares por grupo
Transferidor e régua
Folha de registro
Antes da aula
Produza os moldes uma vez e recorte em série (duas aulas de fundo de gaveta ou o apoio da sala de artes).
Confira os ângulos dos moldes com o transferidor — pentágono torto arruína o efeito.
Tabela no quadro: polígono | cobriu? | ângulo interno | quantos no vértice | soma.
Passo a passo
1Tentar cobrir
Cada grupo tenta cobrir um pedaço da carteira sem folga e sem sobreposição: primeiro só triângulos, depois só quadrados, só hexágonos, e por fim só pentágonos.
2Registrar o veredito
Anotar na tabela quais cobriram. Triângulo, quadrado e hexágono cobrem; o pentágono sempre deixa fresta — não importa a arrumação.
Atenção: deixe os grupos insistirem no pentágono um pouco: a convicção de que "não tem jeito" precisa ser deles.
3Medir os ângulos
Com o transferidor, medir o ângulo interno de cada peça e completar a tabela: 60°, 90°, 108°, 120°.
4A conta do vértice
Nos ladrilhamentos que deram certo, contar quantas peças se encontram num vértice e multiplicar pelo ângulo: 6×60, 4×90, 3×120 — tudo 360°. No pentágono: 3×108 = 324° (sobra) e 4×108 = 432° (não cabe).
5Fechar a regra
Escrever no quadro: cobre quem tem ângulo interno que divide 360°. Fechamento-Computação (EF69CO01): escrever o teste "esse polígono ladrilha?" como procedimento de 3 passos (medir ângulo → dividir 360 → checar se é inteiro).
O que observar com a turma
A EF07MA27 aparece na ligação ângulo interno ↔ possibilidade de mosaico — a conta, não o encaixe, é o argumento.
Extensão boa: combinar DUAS peças (quadrado + triângulo) e ver que 90+90+60+60+60 = 360 também fecha — mosaicos mistos existem.
Fotografe os ladrilhamentos: viram banco de imagens da própria turma para o mural.
Se algo der errado
Peças recortadas fora do regular: os ângulos não batem e "nada cobre" — confira os moldes antes.
Sobreposições disfarçadas: a regra é peça encostada, nunca em cima.
Grupo que decorou "pentágono não dá": peça a prova pela conta, não pela memória.
EF07MA27 — relacionar ângulos internos de polígonos regulares com ladrilhamentos.
EF69CO01 — formular o teste do ladrilhamento como procedimento.
Conecta SEMED · Coordenação Pedagógica de Ciências Exatas · SEMED Gov. Edison Lobão (MA)
Ficha completa da atividade — a versão resumida está no catálogo de atividades de Matemática.